上海家教上海第一家教家教推荐阅读!!
我们知道,抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。
例1 已知抛物线的对称轴是x =1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。
分析 设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3 = -3a。故a =-1。
∴y = -(x+1)(x-3),即
y = - x2 + 2x +3。
例2 已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点,其顶点的纵坐标为6,求当x =0时y的值。
分析 要求当x =0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知,A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。由此可知,抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是(1,6)。于是可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 6。因为点(-1,2)在抛物线上,所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6,即
y = - x2 + 2x +5。
∴当x =0时,y = 5。
例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为(-1,4),求△ABC的面积。
分析 要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可。为此,需求出抛物线的解析式。由题设可知,抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。故可设抛物线的解析式为y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵点(1,0)在抛物线上,
∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4,即
y = - x2 - 2x +3。
∴点C的坐标为(0,3)。
∴S△ABC = 1/2×(4×3)= 6。
例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根,求四边形ABCD的面积。
分析 要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可。为此,要求出抛物线的解析式。由题设可知,C、D两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)。由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是(1,4)。从而可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵点(-1,0)在抛物线上,
∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4,即
y = - x2 + 2x +3。
∴点B的坐标为(0,3)。
连结OA ,则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9