2025年05月13日 星期二
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题目
第二章函数
二次函数
高考要求
1要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用
2能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值
知识点归纳
二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
1二次函数的图象及性质:二次函数
的图象的对称轴方程是
，顶点坐标是
2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即
，
和
（顶点式）
3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0)
(1)x1<α,x2<α ,则
; (2)x1>α,x2>α,则
(3)α<x1<b,α<x2<b,则
(4)x1<α,x2>b (α<b),则
(5）若f(x)=0在区间(α,b)内只有一个实根，则有
4 最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②
2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置
5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
①
f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为
或者是R;
②
f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③
f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为
或者是
题型讲解
例1函数
是单调函数的充要条件是（ ）
A
B
C
D
解：∵函数的对称轴
，
∴函数
是单调函数
，
故选A
例2 已知二次函数的对称轴为
，截
轴上的弦长为
，且过点
，求函数的解析式
解：∵二次函数的对称轴为，
可设所求函数为
，
又∵
截轴上的弦长为，
∴过点
和
，又过点，
∴
， 
，
∴
例3 已知函数
的最大值为
，求
的值
分析：令
，问题就转二次函数的区间最值问题
解：令，
，
∴
，对称轴为
，
（1）当
，即
时，
，得
或
（舍去）
（2）当
，即
时，函数在
单调递增，
由
，得
（3）当
，即
时，函数在单调递减，
由
，得（舍去）
综上可得：的值为或
例4 已知函数
与非负轴至少有一个交点，求的取值范围
解法一：由题知关于的方程
至少有一个非负实根，设根为
则
或
，得
解法二：由题知
或
，得
解法三：当函数与非负轴没有交点时，
则或
，得
或
∴函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为
例5 设二次函数
，已知不论α，β为何实数，恒有
（1）求证：
（2）求证：
（3）若函数
的最大值为8，求b，c的值
解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令
从而知
（2）由
即 
，∴
又因为
（3）
当
由
解得 
点评 注意：
且
, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视
例6 设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b
（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；
（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围；
证明（1）：∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 ∴f(1)=a+b+c=0
又a＞b＞c ∴3a＞a+b+c＞3c ∴a＞0,c＜0
由
∴Δ=(b－a)2－4a(c－b)＝(b+a)2－4ac＞0
故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；
解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=－
,x1x2=
,
由题意，
｜A1B1｜=｜x1－x2｜=
=
=
＝
=
∵a＞b＞c,a+b+c=0∴a＞－(a+c)＞c ∴－2＜
＜－
∴｜A1B1｜的取值范围是（
，2
）
例7 是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c (a
0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x，都有x
f(x) 
”
解：因为图像经过M(-1,0)，所以a-b+c=0
又因为xf(x)
∴当x＝1时，1f(1) 1 ， 所以f(1) =1
即 a+b+c=1
从而
所以b=
∴ xax2+
对一切实数x恒成立
即
的解集为R
∵a=0或a=
,
∴
所以a=c=
,b=
例8 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当
（1）求f(x)的表达式
（2）对于任意
解：（1）设P（x,y）是f(x) 图象上的任意点，则P（x,y）关于直线x=1的对称点为Q (2-x ,y)必在g(x)图像上，且2≤2-x≤3即x∈[-1，0]
∴
x∈[-1，0]
∵f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f(0)=0, ∴c=
当
（2）当
时，
∴
例9 设函数f(x)=|x－a|－ax，其中0<a<1为常数
（1）解不等式f(x)<0;
（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由
解：（1）由f(x)<0得，|x－a|<ax，即－ax<x－a<ax,
∴不等式的解集是
（2）∵
∴
内是增函数，
内是减函数
∴
例10 对于函数，若存在
，使
，则称
是的一个不动点，已知函数
，
（1）当
时，求函数的不动点；
（2）对任意实数
，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若
的图象上
两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线
对称，求的最小值
解：（1）
，是的不动点，
则
，得
或
，
函数的不动点为
和
（2）∵函数恒有两个相异的不动点，
∴
恒有两个不等的实根，
对
恒成立，
∴
，得的取值范围为
（3）由
得
，
由题知
，
，
设中点为
，则的横坐标为
，
∴
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立，
∴的最小值为
学生练习
1设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ ）
(A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值
2函数f(x)=2x2-mx+3,当xÎ(-¥,-1]时是减函数，当xÎ[-1,+¥)时是增函数，则f(2)=
3方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ；有一正根，一负根的充要条件是 ___ ；至少有一根为零的充要条件 ____
4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a的取值范围是
5设方程x2-mx+1=0的两个根为α,b,且0<α<1,1<b<2,则实数m的取值范围是 ____
6直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交，则k的取值范围是
7已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是(-¥,-3)È(2,+¥),则关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集是
8方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内有一根，则mÎ ;或m=6-2
)在(0,1)内至少有一根，则mÎ
9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围
10已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围
11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x对任意实数x都成立，试求f(1-
)的值
12已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围
13根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系：
销售量g(t)与时间t满足关系g(t)= -t/3 +43/3 (0£t£40),tÎN),求这种商品日销售量的最大值
14已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围
15若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c¸使f(c)>0,求实数p的取值范围
16已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= -bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cÎR)
(1)求证：两函数的图象相交于不同两点A，B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围
17设 2sin2x+acosx–1≤3a对x∈R 恒成立，求实数a的取值范围
18在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b(a>b),∠A=60°,在AB,AD,CB,CD上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0≤x≤b),求x取何值时，四边形EFGH面积最大？最大值为多少？
19已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3 (a≠0)在区间[-3/2,2]上的最大值为1，求实数a的值
20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β证明：
(Ⅰ)如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│a│＜4+b且│b│＜4；
(Ⅱ)如果2│a│＜4+b且│b│＜4，那么│α│＜2，│β│＜2
21已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1
(Ⅰ)证明:│b│≤l;
(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;
22已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,对于任意实数x，都有f(x)-x³0,并且xÎ(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1); (2)求f(x)
23若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的取值范围
24线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围
参考答案：
1 C
2 19
