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数学基本公式
作者: 来源:第一家教网 日期:2010.07.12  浏览量:12316

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同角三角函数关系式

  ·平方关系:

 

sin^2(α)+cos^2(α)=1

  cos^2(a)=(1+cos2a)/2

  tan^2(α)+1=sec^2(α)

  sin^2(a)=(1-cos2a)/2

  cot^2(α)+1=csc^2(α)

  ·积的关系:

  sinα=tanα×cosα

  cosα=cotα×sinα

  tanα=sinα×secα

  cotα=cosα×cscα

  secα=tanα×cscα

  cscα=secα×cotα

  ·倒数关系:

  tanα ·cotα=1

  sinα ·cscα=1

  cosα ·secα=1

  ·商的关系:

  sinα/cosα=tanα=secα/cscα

  cosα/sinα=cotα=cscα/secα

  直角三角形ABC中,

  角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

  余弦等于角A的邻边比斜边

  正切等于对边比邻边,

  ·对称性

  180度-α的终边和α的终边关于y轴对称

  -α的终边和α的终边关于x轴对称

  180度+α的终边和α的终边关于原点对称。

  180度-α的终边关于y=x对称。

  ·诱导公式

  公式一:

  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

  

sin(2kπ+α)=sinα

  cos(2kπ+α)=cosα

  tan(kπ+α)=tanα

  cot(kπ+α)=cotα

  公式二:

  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三:

  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四:

  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五:

  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六:

  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  sin(3π/2+α)=-cosα

  cos(3π/2+α)=sinα

  tan(3π/2+α)=-cotα

  cot(3π/2+α)=-tanα

  sin(3π/2-α)=-cosα

  cos(3π/2-α)=-sinα

  tan(3π/2-α)=cotα

  cot(3π/2-α)=tanα

  (以上k∈Z)

  补充:6×9=54种诱导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)

  

f(β)→
  f(β)=↘
  β↓
  sinβ
  cosβ
  tanβ
  cotβ
  secβ
  cscβ
360k+α sinα cosα tanα cotα secα cscα
90°-α cosα sinα cotα tanα cscα secα
90°+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα
180°-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα
180°+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα
270°-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα -secα
270°+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα
360°-α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
﹣α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
 定名法则

  90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同,奇变偶不变”

  定号法则

  将α看做锐角(注意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函数的符号。也就是“象限定号,符号看象限”.(或为“奇变偶不变,符号看象限” 

  2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变,若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀;一全二正弦,三切四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切为正,第四象限余弦为正。)

  比如:90°+α。定名:90°是90°的奇数倍,所以应取余函数;定号:将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 这个非常神奇,屡试不爽~

  还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如:sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,所以sin(90°+α)=cosα

  ·两角和与差的三角函数

  cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

  cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

  sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

  ·和差化积公式:

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  ·积化和差公式:

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

  ·倍角公式

  sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

  cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 

  tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)

  ·三倍角公式:

  sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

  cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

  tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

  ·半角公式

  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

  cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

  tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

  ·辅助角公式:

  Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ)(tanφ=A/B)

  Asinα-Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ)(tanφ=A/B)

  ·万能公式

  sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

  cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

  tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

  ·降幂公式

  sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

  cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

  tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

  ·万能公式:

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2;(α/2)]

  cosα=[1-tan^2;(α/2)]/[1+tan^2;(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2;(α/2)]

  ·三角和的三角函数:

  sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

  cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

  tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

  ·其它公式

  a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]

  a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]

  1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数

  csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)

  cos30=sin60

  sin30=cos60

  ·推导公式

  tanα+cotα=2/sin2α

  tanα-cotα=-2cot2α

  1+cos2α=2cos^2α

  1-cos2α=2sin^2α

  1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2

  ·其他[及证明]:

  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0

  以及

  sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

  cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

  证明:

  左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

  =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (积化和差)

  =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

  等式得证

  sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

  证明:

  左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

  =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

  =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

  等式得证

  三倍角公式推导

  sin3a

  =sin(2a+a)

  =sin2acosa+cos2asina

  =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

  =3sina-4sin^3a

  cos3a

  =cos(2a+a)

  =cos2acosa-sin2asina

  =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

  =4cos^3a-3cosa

  sin3a=3sina-4sin^3a

  =4sina(3/4-sin^2a)

  =4sina[(√3/2)^2-sin^2a]

  =4sina(sin^260°-sin^2a)

  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

  cos3a=4cos^3a-3cosa

  =4cosa(cos^2a-3/4)

  =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

  =4cosa(cos^2a-cos^230°)

  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

  上述两式相比可得

  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

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