2024年05月05日 星期日
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解数学题不可不知道的十四个优先策略
湖南宁乡一中 黎国之
新课程改革的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上，学生是自主学习锻炼能力的主体，教师不是知识的灌输者，而是学习过程的组织者、参与者和引导者，那么，如何引导才能达到培养学生能力的目的？教师心中要有明确的目标。本文认为，从引导学生培养解决问题的策略这个角度入手是一种有效的做法，因为，策略是哲学层次的东西，可以说是能力的能力。下面从14个方面展开论述。
1、好心态优先的策略。沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细，有大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出，否则只会“逻辑乱套，直觉失效，没有题感，死得很惨”。
【例1】、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？
A、8
cm2 B、6
cm2 C、3
cm2 D、20 cm2（06年全国卷Ⅰ，11）
【解析】：对于绝大部分考生来说，这是一道难度较大的选择题，因为你去安排各边的长度时，组合的可能有许多，因此面对命题者用此题“把关”，不少考生选择放弃思考。其实由题设知道，这个三角形的周长是定值20，周长是定值的三角形在高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，因此对于直觉比较好的学生来说，会意识到只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时面积最大，也就是说，形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为
cm2，选B。
【练习】、函数f（x）=
︱x-i︱的最小值为（ ）
A、190 B、171 C、90 D、45 （06年全国卷Ⅱ，12）
2、审题优先的策略。审已知，审隐含条件，审解题目标，审命题意图。要牢记审题口诀“逐字逐句逐标点，边读边画边联想”，要特别寻找题目中的关键词，还有那些括号里面的注记式的内容常常是被解题者忽略的，却肯定是命题者和阅卷者看重的。
【例2】、双曲线
（
＞1，
＞0）的焦距为2
，直线
经过点
和
，且点（1，0）到直线的距离和点（-1，0）到直线的距离之和
，求双曲线的离心率
的取值范围。（04全国）
【解析】：如果在审题时没有注意到＞1这个条件（很多人当作＞0看待）就按部就班地去做，也可以做出来，但解题过程相当繁琐；而利用这个条件，则马上就知道点（1，0）和（-1，0）位于直线的同侧，且关于原点对称，所以它们到
的距离之和等于原点到的距离之和的2倍，条件等价于
，以后可以顺利得出
这个关键等式，进而不难解得
。
【练习】、求y=3sin（-2x+
）+1的单调递减区间。
3、设计优先的策略。审题完毕，也莫着急，易见之途，常是弯的。尤其是解析几何中的问题，表面上看思路并不难，但如果贸然动笔，则很可能运算繁难，正所谓“望山跑煞马”也。解题不设计，越解越生气。方案若繁难，就得换主意。事实上，按照匈牙利数学家G·波利亚在其名著«怎样解题»中的说法，解题中必须先设计方案，再动手解决（执行方案）。只有在设计出最优方案以后再动手，才不至于浪费时间。
【例 3】、已知双曲线（＞0，＞0）的离心率=
，
一条准线方程为
，直线与双曲线右支及双曲线的渐近线
交于A、B、C、D四点（如图），证明：|AB|=|CD|。
【解析】：若想直接证明|AB|=|CD|，简直比登天还难！但若认真设计，意识到只要证明线段AD与BC的中点重合，则豁然开朗！过程从略，请读者自己试试。
【练习】、求证：椭圆
与直线
有两个交点。
4、定性优先的策略。何谓定性？就是在大方向上对问题的类型和性质进行识别与判断，首先是用定义去进行比照。例如，这个问题是排列问题还是组合问题？要看它是有序的还是无序的；这个问题是应该用加法原理去做还是应该用乘法原理去做？要看它是分类完成还是分步完成；如果是概率统计方面的问题，则它是四大概型（等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验中某事件发生k次的概率——贝努利概型）中的哪一类型？离散型随机变量是服从四大分布（一点分布、两点分布、二项分布、几何分布）中的哪一种分布？给你一个立体图形或者圆锥曲线图形，它是已经固定了还是可以变化？若是可以变化，主变量是什么？
【例 4】、从一点O引出四条射线，它们两两所成的角相等，记为
，则
= 。
【解析】：这是一道小题，但是忽悠过不少人。首先你要意识到这是一个空间问题而非平面问题，然后你不要以为这四条射线都往同一个大方向延伸，而要领悟到它们是在空间“均匀”发散的，这样，你的思维方向就对了。这个问题等价于求甲烷分子（CH4）的键角的余弦值，利用等体积法或者向量法不难求得= 
。
【练习】、已知
则
与
的夹角等于 。
5、定位优先的策略。立体几何中求二面角的大小，则它的平面角在哪里？在图中找出来就可以了还是需要作出来？使用三垂线定理解题，基本平面在哪里？它的“两足”（垂足与斜足）在哪里？涉及圆锥曲线问题，它的焦点在什么位置？在x轴上还是y轴上？中心在哪里？根据图象求正弦函数或者余弦函数的解析式，需要求它的初相，那么它的第一零点在哪里？
【例5】、求经过两点
的椭圆的标准方程。
【解析】：并不知道椭圆的焦点在哪里，就想当然地以为其在x轴上去求，是错误；知道焦点位置尚不明确，而采用分类讨论去求，是中策；选择椭圆的统一表达式
结合待定系数法去求，是上策。这就是说，不但要有优先定位的习惯，还要有善于定位的水平。答案：
。
【练习】、如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上。P是⊙O所在
平面外的一点，且PA垂直面⊙O，∠ABC=， BC =1，PA=2。
假设有一只蚂蚁从A点出发沿多面体PABC的表面并经过棱PC
到达点B，则蚂蚁经过PC上什么位置时路程最短？
6、定义域优先的策略。在解函数题时，这一条极其重要。如判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称；对变量进行换元，要记住“换元必换域”的口诀，比如令sinx+cosx=t，必须随即写上新变量t的取值范围；复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域，等等。
【例6】、求函数y=lg(x2+2x)的单调区间。
【解析】：注意先考虑定义域。
【练习】、试判断函数
的奇偶性。
7、定义法优先的策略。定义是知识的生长点，用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就有“回到定义去”的重要提醒句。
【例7】、已知椭圆9x2+25y2=225内有一点A（1，1），右焦点F，请在椭圆上找一点P，使∣PA∣+
∣PF∣最小。
【解析】：先把∣PF∣转化为P点到右准线的距离就好办了。
【练习】、已知函数
的反函数是
，则
（07湖北）
8、前提优先的策略。用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”，否则用单调性解决；涉及等比数列问题，它的公比的取值情形如何？凡是欲使用韦达定理或判别式解题，要先问方程的二次项系数是否为零？
【例8】、求函数
的最小值。
【解析】：如果由解析式变形：
，而得到“最小值为2”的答案，那就错了，原因在取“=”号的条件“
”无法满足！应该运用单调性法求解，答案是
。
【练习】、求
的最小值。
9、范围优先的策略。在三角函数这个内容里面，有一句口诀叫做“求角先求函数值，总要优先定范围”。
【例9】、已知3sin2x+2sin2y-2sinx=0，求cos2x+cos2y的取值范围。
【解析】：如果由条件得
，
则
=
就错了！原因是没有考虑到条件等式中隐藏有对
的制约，应该由
先解出的取值范围再求解，答案是
。
【练习】：直线过定点P（1，-2），且与线段AB相交，其中A（-2，1），B（4，
），则直线斜率的取值范围是 。
10、特情优先的策略。命题者出于考查严谨性的考虑，一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为问题的一个小分支，这个小分支本身并不难，但要求解题者不要漏掉。比如：分母为零吗？二次项系数为零吗？等比数列的公比为1吗？直线方程的斜率存在吗？斜率为零吗？直线方程中截距为零吗？集合问题中考虑集合为空集的情形了吗？所给的集合是点集还是数集？端点值能够取到吗?求数列通项公式时，第一项是否不符合通项公式而需要单列呢？解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜” ，就要养成特情优先的良好习惯。
【例10】、某国际旅行社共有11名翻译人员，其中5人只会英语，4人只会日语，另有2人既会英语又会日语。现在从这11名翻译人员中选4人担任英语翻译，4人担任日语翻译，共有多少种不同的选派方法？
【解析】：在这里，两名既会英语又会日语的翻译人员是“多面手”，是特殊元素，因此优先考虑他们的安排是破题的关键。选派的8人中没有1个多面手担任英语翻译的派法有
种；选派的8人中恰好有1个多面手担任英语翻译的派法有
种；选派的8人中恰好有2个多面手担任英语翻译的派法有
种；因此一共有++=185种。
【练习】、已知直线过点P（2，3）且在
轴和
轴上的截距相等，求直线的方程。
11、整体法优先的策略。此法堪称第五大数学思想，它是全局思想在解题中的体现。换元法解方程，等积法求三角形的高或求点面距离，用射影面积法求二面角的大小，解析几何中的“点差法”解决中点弦问题，解复杂方程组时的整体消元，平均值法解决有关排列组合数问题，等等，都是运用这一思想的体现。另外，三角题中有一类求值问题，用解二次方程组的方法则繁难之至，而用“凑角法”则很简单。
【例11】、已知：x、y均为锐角，且cos（x+y）=
，cosx=
，求siny=？
【解析】：没有结构眼光的人往往是想到联立方程组cosy-
siny=，cos2y+sin2y=1去求，费力不讨好；而整体意识好的人则会利用siny=sin〔（x+y）-x〕=sin（x+y）cosx + cos（x+y）sinx轻易得解。
【练习】、过点P（5，1）的直线与双曲线
交于两点A、B，且点P是线段AB的中点。求直线的方程。
12、间接法优先的策略。间接法体现了思维的灵活性，所谓“间接法”有两层意思，一是从反面考虑问题，二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题，使用从反面考虑问题的间接法，一般都比较简便，这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显，在解有关排列组合问题上也是如此，原因是可以避免繁杂的分类讨论；此外， 解小题（填空题或者选择题），优先使用从侧面考虑问题的间接法，是赢得时间的重要策略，这里就不赘述了。
【例12】、ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）
A、0﹤a≤1。B、a﹤1。C、a≤1。D、0﹤a≤1或a﹤0。（课本一册上P.43）
【解析】：此题如果用直接法求解，花10分钟也未必解决得了。如果由选项看出，0和1是两个关键数字，以0代入，得x=-
符合要求，排除A、D；再以1代入，得x=-1符合要求，所以选C。
【练习】设函数
为奇函数，则
（07宁夏）
13、结构优先的策略。解数学题是要有结构眼光，因为结构决定功能。无论是对式子的结构还是图形的结构，都要保持足够的敏感度。例如看到形如 a2+b2的式子或者形如∣x1-x2∣的式子，你是否想到它有表示“距离”的几何意义？看到形如分式
之类的式子，你是否想到它可以理解为斜率公式或者是定比分点公式？再如，看到
这类式子，你是否意识到它可能用上均值不等式。解析几何中，有些线段本身就是焦点弦或者是焦半径；立体几何中，有些图形是经典的三垂线结构或者三余弦结构，有些图形本身就是从正方体中切下来的一部分；等等。意识到这一点，往往就容易找到破题的口子。
【例13】、已知变量、满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（07辽宁）
【解析】：把看作斜率，容易求得答案。选A.
【练习】：已知
则 
的最小值是 。（06海南）
14、易处优先的策略。解决任何问题，都不免会碰到困难，人们的一个策略就是先易后难，逐步解决。体现在对待数学问题的态度上，当然也是如此。数学解答题，常常是一设多问，难度逐渐加大，解答时候就应该遵循这个顺序，这本身就是一个“热身”的过程；另外，有些问题看起来比较复杂，我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题，以期从中受到启发进而找到思路，这叫“稚化策略”。 至于解答一份完整的数学试卷，就更应该先易后难了。
【例14】、函数f（x）=︱x-i︱的最小值为（ ）
A、190 B、171 C、90 D、45 （06年全国卷Ⅱ，12）
【解析】：在解此题时，若你直觉足够好，能直接意识到取1~19的中间值（平均值）10时f（x）取到最小值，那当然就简单了；若你直觉欠好，可用“稚化策略”，先把问题稚化为求f（x）=
︱x-i︱=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值，你就会豁然开朗了。
【练习】：如图所示是某城市的网格状道路，
中间是公园，其内没有公路。某人驾车从城市
的西南角的A处要到达东北角的A处，最短的
路径有多少条？（加拿大数学竞赛题）
提示：先假设没有公园，并且只有3横4纵，然后假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的走法数（都是1）；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是2；……，这样步步回退，直到A处，就知道答案了！当然这仅是方法之一。
练习题参考提示与答案：1、C； 2、
；3、直线过椭圆内一个定点（1，1）；4、
；5、将三棱锥沿PB、BC剪开，使平面PBC与平面PAC共面，联结AB交PC于点K。6、非奇非偶；7、
；8、
；9、
；10、
或者
；11、
；12、由
得
；13、5；14、110。
