2025年05月02日 星期五
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数学破题36计
第3计 诸葛开门 扇到成功
Hjkl123
●计名释义
诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子。草船借箭用扇子，借东风也是用扇子。有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风。在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量。
数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用。
●典例示范
［题1］ 已知f（x）=
试求 f（－5）+ f（－4）+…+ f（0）+…+ f（6）的值。
［分析］ 若分别求f（x）在x= －5，－4，…，0，…，6时的12个值然后相加。这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法。于是，我们关心f（x）+f（1－x）的结果。
［解析］ 因为 f（x）+ f（1－x） = 
=
=
所以 f（－5）+ f（－4）+…+ f（0）+…+ f（6）
=
［（f（－5）+ f（6））+（f（－4）+ f（5））+…+（f（6）+ f（－5））］
=［f（1－x）+ f（x）］×6 =
［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法。
●对应训练?
1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于 。?
2.求已知离心率e=
，过点（1，0）且与直线l:2x－y+3=0相切于点P（－
），长轴平行于y轴的椭圆方程。?
3.若椭圆
（a>0）与连结A（1，2），B（3，4）两点的线段没有公共点，求a的取值范围。??
●参考答案?
1.
命sin2α=sin2β=sin2γ=
，则cos2α=cos2β=cos2γ=
。α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cosγ=
。?
∴?cosαcosβcosγ=
。?
（注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得）。?
2.解析 按常规，设椭圆中心为（x0，y0），并列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程。?
若借极限思想，将点椭圆视为椭圆的极限情况，则可简化运算过程。?
已知e=，则a2=5b2。设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为?
（x+
，把点P（－
看做当k→0时的极限情形（点椭圆），则与直线l:2x－y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:?
（x+
又所求的椭圆过（1，0）点，代入求得λ=－。?
因此所求椭圆方程为x2+
=1。?
点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题，减少了运算量，简化了运算过程。?
3.解析 若按常规，需分两种情况考虑:?
①A，B两点都在椭圆外;?
②A，B两点都在椭圆内。?
若借用补集思想则避免了分情况讨论，使计算简洁。?
设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R，a>0}，先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围。?
易得线段AB的方程为y=x+1，x∈［1，3］，?
由方程组
，x∈［1，3］，?
a2的值在［1，3］内递增，且x=1和x=3时分别得a2=
或a2=
，故≤a2≤。?
∵a>0，∴
≤a≤
。?
故当椭圆与线段AB无公共点时，a的取值范围为0<a<或a>
。
